Calcul Vectoriel : égalité de deux vecteurs

23/10/2026 2 Min. Lesezeit

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I. Égalité de deux vecteurs

Soit A, B, C et D quatre points du plan tels que : A ≠ B et C ≠ D.

On dit que les deux vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\) sont égaux s'ils ont :
- La même direction - Le même sens - La même norme.
Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\) ont la même direction signifie que : (AB) // (DC).
Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\) ont le même sens signifie que le déplacement de A vers B se fait dans le même sens que le déplacement de D vers C.
Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\) ont la même norme signifie que : AB = DC, c'est-à-dire : \(\|\overrightarrow{AB}\| = \|\overrightarrow{DC}\|\), ou encore les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\) ont la même longueur.
On peut comparer le sens de deux vecteurs uniquement s'ils pointent dans la même direction.

Le vecteur \(\overrightarrow{AA}\) n'a pas de direction, sa norme est nulle et il est appelé vecteur nul. On le note : \(\vec{0}\).

Soit A, B, C et D quatre points du plan.
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) si et seulement si ABCD est un parallélogramme.

Soit ABCD et ABEF deux parallélogrammes. Montrons que DCEF est un parallélogramme :

On a : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) (1) (car ABCD est un parallélogramme)
On a : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{FE}\) (2) (car ABEF est un parallélogramme)

De (1) et (2), on déduit que : \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{FE}\) ; alors DCEF est un parallélogramme.

Soit A, B et C trois points non alignés.