Coplanarité de trois vecteurs

• 1 ère Méthode :
  
  Soient \(\vec{u}(x ; y ; z), \vec{v}\left(x^{\prime} ; y^{\prime} ; z^{\prime}\right)\) et \(\vec{w}\left(x^{\prime \prime} ; y^{\prime \prime} ; z^{\prime \prime}\right)\) trois vecteurs de l'espace muni d'une base \((\vec{i} ; \vec{j} ; \vec{k})\). Le déterminant des vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}\) et \(\vec{w}\) dans cet ordre est le réel noté \(\operatorname{det}(\vec{u} ; \vec{v} ; \vec{w})\) et défini par :
  \[
  \operatorname{det}(\vec{u} ; \vec{v} ; \vec{w})=\left|\begin{array}{ccc}
  x & x^{\prime} & x^{\prime \prime} \\
  y & y^{\prime} & y^{\prime \prime} \\
  z & z^{\prime} & z^{\prime \prime}
  \end{array}\right|=x\left|\begin{array}{ll}
  y^{\prime} & y^{\prime \prime} \\
  z^{\prime} & z^{\prime \prime}
  \end{array}\right|-y\left|\begin{array}{ll}
  x^{\prime} & x^{\prime \prime} \\
  z^{\prime} & z^{\prime \prime}
  \end{array}\right|+z\left|\begin{array}{ll}
  x^{\prime} & x^{\prime \prime} \\
  y^{\prime} & y^{\prime \prime}
  \end{array}\right| .
  \]
  (c'est un développement suivant la première colonne)
  
  
  
• 2 ème Méthode :
  
  
  Soient \(\vec{u}, \vec{v}\) et \(\vec{w}, 3\) vecteurs de l'espace tels que \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires.
  Les vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont coplanaires si, et seulement si, il existe des nombres réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que :
  \[
  \vec{w}=\alpha \times \vec{u}+\beta \times \vec{v}
  \]
  
  Exemple
  
  On donne: \(\vec{u}(1 ; 3 ; 7), \vec{v}(-4 ; 3 ; 2)\) et \(\vec{w}(5 ; 5 ; 14)\). Ces vecteurs sont-ils coplanaires?
  
  On a :
  \(\vec{u}\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 7\end{array}\right) \vec{v}\left(\begin{array}{c}-4 \\ 3 \\ 2\end{array}\right) \),  et puisque le dérerminant extrait : 
  $\begin{aligned}\left|\begin{array}{cc}1 & -4 \\ 3 & 3\end{array}\right| & =1 \times 3-3 \times(-4) \\ & =15 \\ & \neq 0\end{aligned}$ 
  Alors : \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaire .
  
  On a : 
  \[\begin{aligned}&\begin{aligned}& \vec{w}=\alpha \vec{u}+\beta \vec{v} \\& \Leftrightarrow\left(\begin{array}{c}5 \\5 \\14\end{array}\right)=\alpha\left(\begin{array}{c}1 \\3 \\7\end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{c}-4 \\3 \\2\end{array}\right)\end{aligned}
  \\&\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}5=\alpha-4 \beta \\5=3 \alpha+3 \beta \\14=7 \alpha+2 \beta\end{array}\right.
  \\&\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}3 \alpha-12 \beta=15 \\3 \alpha+3 \beta=5 \\7 \alpha+2 \beta=14\end{array}\right.
  \\&\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}-15 \beta=10 \\3 \alpha+3 \beta=5 \\7 \alpha+2 \beta=14\end{array}\right.
  \\&\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\beta=-\frac{2}{3} \\3 \alpha=5-3 \times\left(-\frac{2}{3}\right) \\7 \alpha+2 \beta=14\end{array}\right.
  \\&\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\beta=-\frac{2}{3} \\3 \alpha=5+2=7 \\7 \alpha+2 \beta=14\end{array}\right.
  \\&\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\beta=-\frac{2}{3} \\\alpha=\frac{7}{3} \\7\left(\frac{7}{3}\right)+2\left(-\frac{2}{3}\right)=14\end{array}\right.
  \\&\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\beta=-\frac{2}{3} \\\alpha=\frac{7}{3} \\\frac{45}{3}=14 \text{ faux }\end{array}\right.
  
  \end{aligned}\]
  
  Donc , il n'existe pas de \(\alpha , \beta\) tels que \(\vec{w}=\alpha \times \vec{u}+\beta \times \vec{v}\).
  D'où \(\vec{u}(1 ; 3 ; 7), \vec{v}(-4 ; 3 ; 2)\) et \(\vec{w}(5 ; 5 ; 14)\) sont des  vecteurs non coplanaires.